Triángulos Coloridos

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Introducción

En esta lección aprenderá a hacer triángulos coloridos, también llamados tapetes ó alfombras de Sierpinski, en memoria de W. Sierpinski (1882-1969). Observe aquí como, de la nada, aparece un tapete de Sierpinski, en blanco y negro.

Actividad
Materiales: papel, reglas, rotuladores ó lápices de cera de colores.


Instrucciones Básicas:


Ahora deténgase y use su imaginación. ¿Qué ocurriría si continuase haciendo los triángulos más y más pequeños? ¿Llenaría el triángulo mayor por entero? El remanente es más y más pequeño.

1. Calculemos ahora el área cubierta por los triángulos coloridos.

Por lo tanto, si continuásemos, cubriríamos

¼ + ( ¼ * ¾) + ( ¼ * (¾)²) + ( ¼ * (¾)³) + ... =
¼ * ( 1 + ¾ + (¾)² + (¾)³ + ... )

lo cual es la suma de una progresión geométrica con el factor ¾ multiplicado por ¼.

2. La suma de esta progresión geométrica es igual a 1/(1 - ¾) = 4 (ver abajo). Por lo tanto, el área cubierta será ¼ * 4 = 1, esto es, el área total. Así, habremos coloreado el área completa, incluso si algunos puntos individuales permanencen en blanco.

Nota: El hecho de comenzar con un triángulo equilátero se debe tan sólo a motivos estéticos. Tal resultado será el mismo para cualquier triángulo.



3. Cómo sumar una progresión geómetrica.

Digamos que

Entonces, multiplicando por -r,

Sumando las dos ecuaciones de arriba,

 

 

 

[Índice de lecciones]

Traducido por Miguel Piquero: Martes, 22 de Abril de 2002

Revisado el 13/6/2002