Barriles, toneles
y
otros envases curvos


Acerca de los toneleros.

Los toneleros son artesanos que fabrican barriles y toneles. Un barril tiene el fondo plano y, si es necesario, tiene también una tapa plana. Sus lados están compuestos de listones de madera moldeados y unidos mediante aros metálicos. Los listones de madera son ligéramente más anchos en su parte central, lo que hace que el barril tenga una forma redondeada en lugar de cilíndrica. Debido a que hace años muchos productos se transportaban y vendían en barriles, el cálculo del volumen del barril era considerado una tarea importante, que se llamaba aforar.

Puede obtener envases, bien con forma de barril o con cualquiera otra forma, usando cartulina, tarjetas de índice, e incluso papel de construcción, si sigue estas instrucciones:

(1) Haga un polígono regular, que servirá de fondo. Probáblemente, el más fácil para trabajar con él sea el cuadrado. (Para su primer envase tal vez prefiera imprimir este patrón , el cuál tiene el fondo cuadrado.) Un pentágono es elegante, mientras que un octágono proporciona a su barril de una forma redondeada. Ha de fabricar un “listón” por cada lado de la base; por lo tanto, el fabricar un envase cuya base sea un octágono requerirá, al menos, el doble de trabajo que el hacer un envase con fondo cuadrado. Si hace un fondo con forma de polígono regular distinto del cuadrado, aquí podrá hallar la medida de cada ángulo.

(2) Construya todos sus listones iguales, verticálmente simétricos, y con los lados ligéramente redondeados. Si los listones son más anchos en su parte media, obtendrá un envase con forma de barril. Si por el contrario los hace más estrechos en el centro, obtendrá una forma de vasija. Con un poco de experiencia será capaz de crear formas sofisticadas. (Hemos observado que, usando una curva francesa, se obtienen curvas elegantes.)

Para construir los listones, doble una tarjeta índice por su mitad, bien horizontal ó verticálmente. Haga una marca en el borde de la tarjeta, que esté situada a la mitad del ancho de la base de su envase. Comenzando en dicha marca, dibuje una línea curva hacia el lado superior de la tarjeta. (Como se mencionó, lo puede hacer usando una curva francesa.) Corte ahora a lo largo de la línea curva, cortando así la la tarjeta en dos mitades. Desdoble la tarjeta y habrá obtenido un listón verticálmente simétrico. Su base coincidirá exáctamente con la base de su envase. Ahora construya tantos listones (idénticos al primero) como necesite, dependiendo del número de lados de su base.

Recuerde que la forma del envase estará determinada por el polígono de su base y la forma de sus listones. Es fácil trabajar con listones que tengan 4 ó 5 pulgadas de longitud, y de aproximádamente 1 pulgada de ancho.
(3) Construya su envase comenzando por el fondo. Primero, una los listones a la base. Luego, únalos todos, usando cinta adhesiva. Generálmente tres ó cuatro piezas son suficientes para mantener los listones unidos. Notará que, para que los listones se toquen entre sí, éstos han de doblarse ligeramente. Los listones deberán encajar entre sí con facilidad, a lo largo de sus lados.

(4) Para proveer de estabilidad a su envase coloque, o bien unos cuantos centavos, ó clavos, tuercas, tornillos ó guijarros dentro del mismo. Así, éste no se inclinará sobre su lado, como le ocurre al de la imagen a la derecha.


Actividades.
Antes de construir barriles u otros envases, los estudiantes habrán de tener alguna experiencia en la construcción de poliedros, pues el darles forma curva a los lados requiere cierta destreza manual. De igual forma, los estudiantes deberán saber cómo calcular el volumen de envases variados; por ejemplo, han de saber cómo hallar el volumen de un envase irregular, a través de llenarlo con arroz, y midiendo luego el volumen de ese arroz.

Para la primera actividad, el maestro/a presentará un envase ya construído, así como patrones para los listones. Los estudiantes trazarán así los patrones de los maestros/as, cortándolos y uniéndolos. A continuación medirán el volumen de sus envases. Es importante usar materiales de colores llamativos (las tarjetas índice tal vez sean las más fáciles de usar). Los estudiantes debieran trabajar en grupos durante estas actividades iniciales, para más adelante diseñar sus propios listones.

Se iniciará luego una discusión acerca de la relación existente entre la forma de los listones y la forma de los envases, aunque sin esperar respuestas concluyentes. Después se medirán los volúmenes de todos los envases de cada actividad.

Como proyecto final, cada estudiante construirá su propio diseño, el cual se presentará después como un proyecto de toda la clase. (Es difícil saber de antemano cuánta practica necesitará cada estudiante para poder realizar un diseño que sea atractivo.)

Volumen de un barril.

El cálculo de los volúmenes de objetos irregulares puede ser complejo, pero con frecuencia se pueden obtener buenas aproximaciones sin demasiado problema.

Considere un objeto cualquiera y piense acerca de las áreas de las secciones cortadas por planos paralelos a su base.

Figura 1

Cada cuadrado rojo representa el área A de una sección transversal al nivel L, por encima de la base, con un área A(L).

Teorema.

Se puede calcular el volumen aproximado V, hallando la media M, de las áreas de las secciones transversas, separadas equitatívamente, y multiplicándola por la altura h.

V = M*h

Cuanto mayor sea el número de secciones transversas, mayor será la exactitud de la estimación. Las posiciones exactas de las secciones transversales dejan de jugar un papel importante a medida que su número incrementa.

Ejemplo 1. (Véa la figura 1, arriba)

Altura 8 cms.

Nivel L

Lado

Área A

1 cm

1.4 cm

(1.4 * 1.4) = 2.0 cm2

3 cm

1.2 cm

(1.2 * 1.2) = 1.4 cm2

5 cm

2.4 cm

(2.4 * 2.4) = 5.8 cm2

7 cm

2.2 cm

(2.2 * 2.2) = 4.8 cm2

Media M = 14/4 = 3.5 cm2

Por lo tanto, V = 3.5 * 8 = 28 cm2 es el volumen estimado.

Ejemplo 2.

Para un barril con base cuadrada, sin los lados muy redondeados, será suficiente con medir el ancho de varias secciones transversas de un listón, que estén iguálmente espaciadas. Luego se calculan las medias de los anchos de los cuadrados (éstas son las áreas de las secciones transversas) y se multiplican dichas medias por la altura del barril.

Para envases con bases de distinta forma, se han de usar las fórmulas para las áreas del triángulo, pentágono, hexágono, etc. Aquí se muestran los valores aproximados para polígonos regulares con un lado de longitud a.

Polígono regular

Área aproximada

Triángulo equilátero

0.43 a2

Cuadrado

a2

Pentágono

1.7 a2

Hexágono

2.6 a2

Heptágono

3.6 a2

Octágono

4.8 a2

Nonágono

6.2 a2

Decágono

7.7 a2

Oncecágono

9.4 a2

Dodecágono

11.2 a2

Notas

1. El teorema arriba presentado se formula, generálmente, en términos de cálculo, si bien su uso implica conocimientos previos de aritmética y geometría.

2. Los estudiantes pueden medir los volúmenes de sus envases a través de llenarlos con arroz, vaciando luego el arroz en los platillos de una balanza. Después se pueden comparar los valores hallados con los aquí presentados.

[Índice de lecciones]

Revisado el 8/26/2001 por: John C. Pierce

Traducido por Miguel Piquero el 20/4/2002.